Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.
Формулы приведения:
Для использования формул приведения существует два правила.
1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.
Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет
2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».
На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.
Пример:
Вычислить
Воспользуемся формулами приведения:
Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен "+". Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.
Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Тригонометрия.Формулы приведения.
Формулы приведения не нужно учить их нужно понять. Понять алгоритм их вывода. Это очень легко!
Возьмем единичную окружность и расставим все градусные меры (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) на ней.
Разберем в каждой четверти функции sin(a) и cos(a).
Запомним, что функцию sin(a) смотрим по оси Y, а функцию cos(a) по оси X.
В первой четверти видно, что функция sin(a)>0
И функция cos(a)>0
Первую четверть можно описать через градусную меру, как (90-α) или (360+α).
Во второй четверти видно, что функция sin(a)>0
, потому что ось Y положительна в этой четверти.
А функция cos(a) , потому что ось X отрицательна в этой четверти.
Вторую четверть можно описать через градусную меру, как (90+α) или (180-α).
В третьей четверти видно, что функции sin(a) Третья четверть можно описать через градусную меру, как (180+α) или (270-α).
В четвертой четверти видно, что функция sin(a) , потому что ось Y отрицательна в этой четверти.
А функция cos(a)>0
, потому что ось X положительна в этой четверти.
Четвертую четверть можно описать через градусную меру, как (270+α) или (360-α).
Теперь рассмотрим сами формулы приведения.
Запомним простой алгоритм
:
1. Четверть.
(Всегда смотрите в какой вы четверти находитесь).
2. Знак.
(Относительно четверти смотрите положительны или отрицательный функции косинуса или синуса).
3. Если у вас есть в скобочках (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция меняется
.
И так начнем разбирать по четвертям данный алгоритм.
Выясни чему будет равно выражение cos(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
Будет cos(90-α) = sin(α)
Выясни чему будет равно выражение sin(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
Будет sin(90-α) = cos(α)
Выясни чему будет равно выражение cos(360+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
2. В первой четверти знак у функции косинуса положительный.
Будет cos(360+α) = cos(α)
Выясни чему будет равно выражение sin(360+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
2. В первой четверти знак у функции синуса положительный.
3. В скобочках нет (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция не меняется.
Будет sin(360+α) = sin(α)
Выясни чему будет равно выражение cos(90+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.
3. В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с косинуса на синус.
Будет cos(90+α) = -sin(α)
Выясни чему будет равно выражение sin(90+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.
3. В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с синуса на косинус.
Будет sin(90+α) = cos(α)
Выясни чему будет равно выражение cos(180-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.
2. Во второй четверти знак у функции косинуса отрицательный.
3. В скобочках нет (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция не меняется.
Будет cos(180-α) = cos(α)
Выясни чему будет равно выражение sin(180-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.
2. Во второй четверти знак у функции синуса положительный.
3. В скобочках нет (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция не меняется.
Будет sin(180-α) = sin(α)
Рассуждаю про третью и четвертую четверть подобным образом составим таблицу:
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Тема урока
- Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Познакомится с закономерностью изменений значений синуса косинуса и тангенса при возрастании угла.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить знания учащихся.
План урока
- Повторение ранее изученного материала.
- Задачи на повторение.
- Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла.
- Практическое применение.
Повторение ранее изученного материала
Начнем с самого начала и вспомним то что будет полезно освежить в памяти. Что же такое синус, косинус и тангенс и к какому разделу геометрии относятся эти понятия.
Тригонометрия - это такое сложное греческое слово: тригонон - треугольник, метро - мерять. Стало быть по-гречески это означает: мерятся треугольниками.
Предмети > Математика > Математика 8 классИ еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите значение выражения:
В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.
Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:
То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:
- Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т.д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
- Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.
Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.
Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:
Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y ). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.
На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:
Задача B11 — 1 вариант
Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т.е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:
Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.
Теперь смотрим на знаменатель:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).
Осталось разобраться с последним элементом:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.
Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:
Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!
Задача B14 — 2 вариант
Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:
Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Очевидно, перед нами снова формула приведения : 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.
Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:
Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Итого −4: 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.
Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.
Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.
Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.
Сначала запишем все формулы приведения:
Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:
Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:
Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить
Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.
Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.
Само привило содержит 3 этапа:
- Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
- Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
- Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.
Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:
1. ` cos(\pi + \alpha)`.
Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .
Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`
2. `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)`.
Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac {3\pi}2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .
Ответ: `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)= — cos \alpha`
3. `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)`.
`cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {6\pi}2+\frac {\pi}2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac{\pi}2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.
Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.
Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.
Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.
Лошадиное правило
Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?
Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.
Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.
То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂
Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.
Практические примеры использования формул приведения
Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:
- задачи на решение прямоугольного треугольника;
- преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
- стереометрические задачи.
Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.
Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac{\sqrt 3}3`;
в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac{\sqrt 3}2`;
г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac{\sqrt 3}2`.
Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.
Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`
`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`
`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`
`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.
2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`
`sin \frac {\pi}8 `sin \frac {\pi}8 Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них. Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`. Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно. А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`.
угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.
