Методы решения квадратных тригонометрических неравенств. Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
Отметить точки пересечения двух графиков.
Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

Сначала стоит начертить единичную окружность.
Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Неравенства, содержащие тригонометрические функции, при решении сводятся к простейшим неравенствам вида cos(t)>a, sint(t)=a и подобным. И уже простейшие неравенства решаются. Рассмотрим на различных примерах способы решения простейших тригонометрических неравенств.

Пример 1 . Решить неравенство sin(t) > = -1/2.

Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у =-1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.

Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l.. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.

Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна -1/2, тогда t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. В итоге получаем для t следующее неравенство:

Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: -pi/6+2*pi*n < = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Пример 2. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать дуге l.. Найдем точки t1 и t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Получили неравенство для t: pi/3

Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2*pi. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: pi/3+2*pi*n

Пример 3. Решить неравенство tg(t) < = 1.

Период тангенса равняется pi. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-pi/2;pi/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча - дуга l. Причем, точка P(-pi/2) не принадлежит этой дуге.

1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения

1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.

Между тем, решение неравенств вида , , , можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: (). При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.

Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.

Изучение данной темы осуществляем таким образом:

1. Строим графики и у = а, считая, что .

Затем записываем уравнение и его решение . Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а. очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство , а на интервале () – неравенство .

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства в виде: ; а во втором случае – решение неравенства в виде:

Только в отличие от синуса из формулы , являющейся решением уравнения , при n = 0 получаем два корня , а третий корень при n = 1 в виде . И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале () выполняется неравенство , в интервале () – неравенство

Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ;

а во втором: .

Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .

При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: .

Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.

Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство . Составим соответствующее уравнение и решим его:

Найдём значения и .

При n = 1

При n = 2

Записываем окончательный ответ данного неравенства:

В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.

Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов.

Рассмотрим его сущность.

Комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями...

Проведении исследования были решены следующие задачи: 1) Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: ·в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном...

Большинство студентов тригонометрические неравенства недолюбливают. А зря. Как говаривал один персонаж,

“Вы просто не умеете их готовить”

Так как же “готовить” и с чем подавать неравенство с синусом мы разберёмся в этой статье. Решать мы будем самым простым способом – с помощью единичной окружности.

Итак, перво-наперво нам потребуется следующий алгоритм.

Алгоритм решения неравенств с синусом:

на оси синуса откладываем число $a$ и проводим прямую параллельно оси косинусов до пересечения с окружностью;
точки пересечения этой прямой с окружностью будут закрашенными, если неравенство нестрогое, и не закрашенными, если неравенство строгое;
область решения неравенства будет находится выше прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и ниже прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
для нахождения точек пересечения, решаем тригонометрическое уравнение $\sin{x}=a$, получаем $x=(-1)^{n}\arcsin{a} + \pi n$;
полагая $n=0$, мы находим первую точку пересечения (она находится или в первой, или в четвёртой четверти);
для нахождения второй точки, смотрим, в каком направлении мы идём по области ко второй точке пересечения: если в положительном направлении, то следует брать $n=1$, а, если в отрицательном, то $n=-1$;
в ответ выписывается промежуток от меньшей точки пересечения $+ 2\pi n$ до большей $+ 2\pi n$.

Ограничение алгоритма

Важно: д анный алгоритм не работает для неравенств вида $\sin{x} > 1; \ \sin{x} \geq 1, \ \sin{x} < -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Частные случаи при решении неравенства с синусом

Важно отметить также следующие случаи, которые гораздо удобнее решить логически, не используя вышеуказанный алгоритм.

Частный случай 1. Решить неравенство:

$\sin{x} \leq 1.$

В силу того, что область значения тригонометрической функции $y=\sin{x}$ не больше по модулю $1$, то левая часть неравенства при любом $x$ из области определения (а область определения синуса – все действительные числа) не больше $1$. А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R$.

Следствие:

$\sin{x} \geq -1.$

Частный случай 2. Решить неравенство:

$\sin{x} < 1.$

Применяя аналогичные частному случаю 1 рассуждения, получим, что левая часть неравенства меньше $1$ для всех $x \in R$, кроме точек, являющихся решением уравнения $\sin{x} = 1$. Решая это уравнение, будем иметь:

$x = (-1)^{n}\arcsin{1}+ \pi n = (-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n.$

А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R \backslash \left\{(-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n\right\}$.

Следствие: аналогично решается и неравенство

$\sin{x} > -1.$

Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.

Пример 1: Решить неравенство:

$\sin{x} \geq \frac{1}{2}.$

Отметим на оси синусов координату $\frac{1}{2}$.
Проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку.
Отметим точки пересечения. Они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое.
Знак неравенства $\geq$, а значит закрашиваем область выше прямой, т.е. меньший полукруг.
Находим первую точку пересечения. Для этого неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin{x}=\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x=(-1)^{n}\arcsin{\frac{1}{2}}+\pi n =(-1)^{n}\frac{\pi}{6} + \pi n$. Полагаем далее $n=0$ и находим первую точку пересечения: $x_{1}=\frac{\pi}{6}$.
Находим вторую точку. Наша область идёт в положительном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $1$: $x_{2}=(-1)^{1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, решение примет вид:

$x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$

Пример 2: Решить неравенство:

$\sin{x} < -\frac{1}{2}$

Отметим на оси синусов координату $- \frac{1}{2}$ и проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку. Отметим точки пересечения. Они будут не закрашенными, так как неравенство строгое. Знак неравенства $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin{x}=-\frac{1}{2}$

$x=(-1)^{n}\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}+ \pi n =(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Полагая далее $n=0$, находим первую точку пересечения: $x_{1}=-\frac{\pi}{6}$. Наша область идёт в отрицательном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $-1$: $x_{2}=(-1)^{-1+1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Итак, решением этого неравенства будет промежуток:

$x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Пример 3: Решить неравенство:

$1 – 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq 0.$

Этот пример решать сразу с помощью алгоритма нельзя. Для начала его надо преобразовать. Делаем в точности так, как делали бы с уравнением, но не забываем про знак. Деление или умножение на отрицательное число меняет его на противоположный!

Итак, перенесём всё, что не содержит тригонометрическую функцию в правую часть. Получим:

$- 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq -1.$

Разделим левую и правую часть на $-2$ (не забываем про знак!). Будем иметь:

$\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \geq \frac{1}{2}.$

Опять получилось неравенство, которое мы не можем решить с помощью алгоритма. Но здесь уже достаточно сделать замену переменной:

$t=\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}.$

Получаем тригонометрическое неравенство, которое можно решить с помощью алгоритма:

$\sin{t} \geq \frac{1}{2}.$

Это неравенство было решено в примере 1, поэтому позаимствуем оттуда ответ:

$t \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$

Однако, решение ещё не закончилось. Нам нужно вернуться к исходной переменной.

$(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}) \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$

Представим промежуток в виде системы:

$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n. \end{array} \right.$

В левых частях системы стоит выражение ($\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}$), которое принадлежит промежутку. За первое неравенство отвечает левая граница промежутка, а за второе – правая. Причём скобки играют немаловажную роль: если скобка квадратная, то неравенство будет нестрогим, а если круглая, то строгим. наша задача получить слева $x$ в обоих неравенствах .

Перенесём $\frac{\pi}{6}$ из левой части в правые, получим:

$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n -\frac{\pi}{6}, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n – \frac{\pi}{6}. \end{array} \right.$

Упрощая, будем иметь:

$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq 2\pi n, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n. \end{array} \right.$

Умножая левые и правые части на $4$, получим:

$\left\{\begin{array}{c} x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n. \end{array} \right.$

Собирая систему в промежуток, получим ответ:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$

Решение неравенств онлайн на сайте Math24.biz обеспечит максимальную точность в расчетах. Неравенство в математике - утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство - это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет - в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн - неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте сайт всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа - это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление.. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности - вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие.