Специфика задач на максимальное быстродействие начинает сказываться при записи критерия качества. Для этих задач критерием качества является следующий функционал (5.1)
Таким образом, требуется найти такое управление, при котором перевод объекта управления из начального состояния в конечное выполняется за минимально возможное время.
Последовательность решения рассматриваемых задач не отличается от процедуры решения других задач, решаемых на основе принципа максимума:
Составление Гамильтониана;
Определение зависимости оптимального управляющего воздействия от сопряженных переменных на основе максимизации Гамильтониана;
Составление сопряженной системы дифференциальных уравнений;
Составление общей системы дифференциальных уравнений, среди решений которой и находится искомое управляющее воздействие.
При рассмотрении объектов управления, описываемых линейными уравнениями, задачи максимального быстродействия имеют некоторую особенность. Дело в том, что соответствующая этим задачам функция Гамильтона содержит управление в степени не выше первой и, следовательно, определение максимального значения гамильтониана не может быть выполнено путем приравнивания нулю его первой производной по управлению. Поиск максимального значения гамильтониана в этом случае производится путем анализа возможных комбинаций между управлением и переменными сопряженной системы уравнений. При этом оказывается, что оптимальное управление должно быть максимально по модулю внутри интервала управления и в некоторых его точках мгновенно менять знак в соответствии со знаком некоторой функции от сопряженных переменных. В условиях такого слабого влияния сопряженной системы уравнений на управляющее воздействие возникает возможность вообще отказаться от решения сопряженной системы уравнений и рассматривать моменты смены знака управления (моменты переключения) как самостоятельные переменные.
Более подробно рассмотрим решение задачи максимального быстродействия на следующем примере.
Объект управления:
Критерий качества:
Гамильтониан:
Анализируя возможные комбинации значений и можно сделать вывод о том, что для обеспечения максимальной величины Гамильтониана в зависимости от управления необходимо выполнение следующего соотношения:
Сопряженная система уравнений:
Общая система уравнений:
Поскольку в системе уравнений (5.1) уравнения для сопряженных переменных не зависят от состояний объекта управления, то выражения для можно найти только из системы сопряженных уравнений не обращая внимания на уравнения для состояний объекта управления.
В данном случае:
Анализируя полученные выражения можно сделать вывод о том, что искомое управляющее воздействие имеет вид прямоугольной волны, которая меняет знак не более одного раза. Очевидно, что момент смены знака управления (момент переключения) должен выбираться из условия обеспечения заданных граничных условий для состояний объекта управления. для определения моментов переключения может быть использовано несколько способов.
Первый способ определения моментов переключения – аналитический. При использовании этого способа необходимо получить аналитическое выражение для реакции объекта управления на управляющее воздействие, имеющее вид прямоугольной волны. Используем для этой цели преобразование Лапласа. Момент переключения обозначим через .
Преобразованная по Лапласу система уравнений объекта управления, учитывающая воздействие прямоугольной волны имеет вид:
Из этой системы уравнений можно получить следующие выражения для L-изображений состояний объекта управления:
или, после выполнения обратного преобразования Лапласа, собственно аналитические выражения для переходных процессов во времени:
Последние выражения позволяют найти как значение момента переключения , так и момента времени перевода объекта управления в требуемое состояние .
Второй способ определения моментов переключения – поиск минимума.
Для возможности применения для решения задачи оптимального управления алгоритмов поиска минимума задачу максимального быстродействия сформулируем следующим образом:
Допустим, что управляющее воздействие является кусочнопостоянной функцией времени, которая меняет знак в момент времени , а перевод объекта управления в конечное состояние происходит в момент времени . Требуется определить такие значения параметров и при которых достигается минимальное значение невязки между фактическими и требуемыми значениями состояний объекта управления в момент . Значение невязки вычисляется как сумма квадратов разностей между фактическими и заданными значениями состояний объекта управления в момент времени .
Вычисление параметров оптимального управления методом поиска минимума может быть выполнено с помощью следующей MATLAB-программы:
Файл Main5.m
%вектор начальных приближений для момента переключения и
%момента завершения интервала управления
T=fminsearch("fms5",ti0)
function f=fms5(T)
%численное решение дифф. ур-ний объекта управления при действии
%на него прямоугольной волны управления
Ode45("odefun5",,);
%вычисление невязки
f=x(length(t),1)^2+x(length(t),2)^2;
%генерация массива значений управления для построения графика
for i=1:length(t)
plot(t,x(:,1),t,u)
Файл odefun5.m
function f=odefun5(t,x)
Третий способ определения моментов переключения – графическое построение линии переключения.
Этот способ отличается большой наглядностью, но применим к объектам управления второго порядка, т.к. поведение только таких объектов полностью описывается фазовым портретом. При использовании этого способа задача оптимального управления решается путем построения линии переключения, геометрического места точек фазового пространства объекта управления, из которых перевод объекта в конечное состояние возможен без переключения знака управления. В том случае, когда линия переключения найдена, процедура управления объектом заключается в следующем:
К объекту прикладывается управление некоторого знака и под действием этого управления объект движется до тех пор, пока его изображающая точка не окажется на линии переключения
При попадании изображающей точки на линию переключения выполняется смена знака управляющего воздействия и его изображающая точка начинает двигаться по линии переключения к целевому состоянию. Таким образом, гарантия попадания изображающей точки в целевое состояние обеспечивается по определению линии переключения.
Очевидным способом построения линии переключения является сканирование всей фазовой плоскости и запоминание тех ее точек, из которых целевое состояние достигается путем применения постоянного по величине и знаку управления.
Однако существует способ построения всей линии переключения за один прием. Дело в том, что фазовая траектория движения объекта в обратном времени из целевой точки под действием постоянного по величине и знаку управлении обладает всеми свойствами линии переключения. Следовательно, линия переключения может быть построена путем решения дифференциальных уравнений объекта управления записанных в обратном времени. Математически переход к обратному времени выполняется заменой на в уравнениях объекта. Следует учитывать. что линия переключения имеет две ветви: одна из них соответствует положительному значению управляющего воздействия, а другая – отрицательному.
Программное обеспечение решения задачи максимального быстродействия состоит из двух частей:
Скрипт, выполняющий построение фазовой траектории объекта путем численного решения его уравнений записанных в обратном времени из начальной точки, соответствующей целевому состоянию (построение линии переключения);
Скрипт, выполняющий построение фазовой траектории объекта путем численного решения его уравнений записанных в обычном времени из начальной точки, соответствующей начальному состоянию (знак управляющего воздействия противоположен знаку, использованному при построении линии переключения).
Длительность фазовой траектории, порождаемой вторым скриптом должна быть достаточной для ее пересечения с линией переключения. Момент пересечения и является искомым моментом переключения.
Пример
Рассмотрим случайные величины
- X количество успехов в двенадцати независимых испытаний с распределением Бернулли с вероятностью успеха θ в каждом из них.
- Y количество независимых испытаний с распределением Бернулли, необходимых для получения трех успехов. Вероятность успеха в каждом из испытаний θ.
Тогда рассмотрение X = 3 даст функцию правдоподобия
а рассмотрение Y = 12 даст функцию правдоподобия
Они равносильны, так как одна равняется произведению второй на скалярное значение. Принцип максимального правдоподобия в данном случае говорит, что выводы, сделанные о значении переменной θ должны быть одинаковы в обоих случаях.
Разница в наблюдении X = 3 и наблюдении Y = 12 исключительно в дизайне эксперимента: в одном случае изначально было решено делать двенадцать попыток, а в другом делать попытки, пока не будет трех успешных. Результат будет одинаковым в обоих случаях. Поэтому принцип максимального правдоподобия иногда выражают следующим образом:
Вывод должен зависеть только от исхода эксперимента, а не от дизайна эксперимента.Закон максимального правдоподобия
Связанная с принципом максимального правдоподобия концепция - это закон максимального правдоподобия , говорящий, что отношение того, какое значение параметра более применимо, равняется отношению их функций правдоподобия. Тогда отношение
является мерой того, насколько величина x принимает параметр a в отношении к b . Таким образом, если отношение равняется 1, то разницы нет, а если больше 1, то a предпочтительней b , и наоборот.
Из принципа максимального правдоподобия и закона максимального правдоподобия следует, что параметр, который максимизирует функцию правдоподобия, является лучшим. Это и является основой широко известного метода максимального правдоподобия .
Историческая справка
Принцип максимального правдоподобия был впервые упомянут в печати в г. Однако основы принципа и применение его на практике были опубликованы ранее в работах Р. А. Фишера в г.
Аргументы за и против принципа максимального правдоподобия
Принцип максимального правдоподобия принимается не всеми. Некоторые широко используемые методы традиционной статистики, как например проверка статистических гипотез противоречат принципу максимального правдоподобия. Рассмотрим кратко некоторые за и против этого принципа.
Зависимость результата от организации эксперимента
Неосуществленные события действительно играют роль в некоторых общих статистических методах. Например результат проверки статистической гипотезы может зависеть от доверительной вероятности так же или даже более, чем распределение неизвестного параметра. А сама доверительная вероятность может зависеть организации эксперимента.
Некоторые классичекие методы проверки гипотез базируются не на правдоподобии. Часто приводимый пример это проблема оптимальной остановки. Предположим я сказал, что бросил монету 12 раз и получил 3 решки. Из этого вы сможете сделать некоторые выводы о вероятности выпадения решки у этой монеты. А теперь предположим, что я бросал монету пока решка не выпала 3 раза, и получилось 12 бросков. Сделаете ли вы теперь другие выводы?
Функция правдоподобия одинакова в обоих случаях и пропорциональна
.В соответствии с принципом правдоподобия выводы должны быть одинаковы в обоих случаях.
Предположим некоторая группа ученых определяет вероятность некоторого исхода (который мы будем называть "успехом") серией экспериментов. Здравый смысл подсказывает нам, что если нет оснований считать что успех более вероятен, чем неудача, и наоборот, то следует положить вероятность успеха равной 0.5. Ученый Адам сделал 12 испытаний, в которых получил 3 успеха и 9 неудач, после чего умер.
Его коллега по лаборатории Билл продолжил работу Адама и опубликовал результат проверки гипотезы. Он проверил гипотезу что вероятность успеха p =0.5 против p < 0.5. Вероятность того, что в 12 испытаниях наступит не более 3 успехов, равна
что есть 299/4096 = 7.3 %. Таким образом гипотеза не отвергается при 5 % уровне доверия.
Шарлотта, прочитав статью Билла, пишет письмо. Она считает, что Адам, возможно, продолжал испытания пока не умер, успев получить к этому моменту 3 успеха. Вероятность того, что для трех успехов потребуется 12 или более испытаний равна
что есть 134/4096 = 3.27 %. И теперь результат отвергается при уровне в 5 %.
Для этих ученых зависимость результата испытаний зависит от организации эксперимента, а не только от правдоподобия результата.
Очевидно, парадоксы такого рода некоторые считают аргументом против принципа правдоподобия, для других они же иллюстрирует значимость принципа.
Литература
См. также
Ссылки
- Anthony W.F. Edwards. «Likelihood». http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/D-99-10.html
- Jeff Miller. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L)
- John Aldrich. Likelihood and Probability in R. A. Fisher’s Statistical Methods for Research Workers
Wikimedia Foundation . 2010 .
Постановка задачи. Пусть состояние управляемой системы характеризуется п-мерным вектором состояния x(t). Целенаправленное воздействие на процесс можно осуществлять с помощью m-мерного вектора управления u(t). На векторы управления и состояния могут накладываться ограничения: x(t)eX, u(t)eU, где U и х - соответственно области допустимых управлений и состояний. Будем считать допустимыми управляющими воздействиями кусочно-непрерывные функции на отрезке управления , в точках разрыва первого рода непрерывные справа и на концах отрезка. Между x(t) и u(t) существует зависимость, записываемая в виде системы дифференциальных уравнений
Заданы граничные условия: начальное состояние управляемой системы x,(t 0) = *f и конечное состояние -х { (??) = **, i = l,2,...,n в n-мерном фазовом пространстве. Момент времени п полагаем незафиксированным, а характеризующим только момент перехода в конечное состояние х 1 .
Критерий качества течения процесса управления описывается функционалом
Теперь постановку задачи оптимального управления можно сформулировать следующим образом. В п-мерном фазовом пространстве X даны две точки, х° и х 1 . Среди всех допустимых управлений, для которых фазовая траектория, исходящая в момент времени t 0 из точки х°, приходит в точку х 1 , найти такое управление, для которого функционал I принимает экстремальное значение. Такое управление называется оптимальным управлением, а соответствующая ему траектория - оптимальной траекторией.
Постановку задачи можно видоизменить, введя в рассмотрение еще одну координату вектора состояния, характеризующую текущее значение функционала:
Дифференцируя, получаем уравнение относительно новой координаты вектора состояния
I
с граничными условиями
Теперь речь будет идти о (п + 1)-мерном фазовом пространстве состояния X, а постановку задачи, эквивалентную предыдущей, можно сформулировать следующим образом.
В (п + 1)-мерном фазовом пространстве X заданы: точка с координатами (0,х°) и прямая П, проходящая параллельно оси х 0 через точку (0,х х). Среди всех допустимых управлений, для которых соответствующая фазовая траектория, исходя в момент времени из точки (0,х°), пересечет прямую П, найти управление, обеспечивающее наименьшее возможное значение координаты пересечения с прямой П вдоль оси х 0 .
Постановка задачи геометрически интерпретирована для случая п = 2 на рис. 2.3.
Кроме основной системы дифференциальных уравнений (2.22) и (2.24), которые вместе запишутся как
введем в рассмотрение дополнительную систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательной вектор-функции |/(t)
Рис. 2.3.
После введения понятия функции Гамильтона
системы (2.25) и (2.26) можно объединить записью в виде так называемой гамильтоновой системы
Обозначим через М(х, i)
максимальное значение функции Гамильтона
или, точнее, значение ее верхней грани - супремума.
Основная теорема. Пусть u(t) на отрезке - допустимое управление, удовлетворяющее постановке задачи. Тогда для оптимальности вектора управления u(t) необходимо, чтобы существовала ненулевая вектор-функция |/(t), такая, что:
1) для всех t на отрезке ] функция Гамильтона как функция и, ueU достигала максимума
2) в конечный момент времени t = П выполнялись соотношения
Ввиду важности первого пункта для содержания теоремы, последняя названа авторами принципом максимума, который в этом общем случае дает необходимые условия для определения оптимального управления.
Таким образом, мы имеем 2(п + 1) + ш соотношений (2.25), (2.26) и (2.29), между 2(п + 1) + ш координатами векторов x(t), p(t) и u(t). Так как т соотношений не дифференциальные, то решение системы (2.25), (2.26) и (2.29) зависит от 2(n + 1) неизвестных параметров, кроме того, >t 0 или ti -t 0 = т также является параметром. Один из параметров несуществен, так как v|/(t) определяется с точностью до общего множителя в силу однородности Я относительно |/. Таким образом, для нахождения 2(n + 1) параметров имеем (2n + 1) граничных условий на функцию x(t) и второй пункт принципа максимума.
Принцип максимума для оптимального быстродействия. Важным для технических приложений является класс задач на оптимальное быстродействие: требуется найти управление u(t), переводящее фазовую точку из состояния х° в момент времени t 0 в х 1 за минимальное время, т.е. функционал в данном случае запишется как
т.е. / 0 (x,u)sl. Функция Гамильтона принимает вид
где
Таким образом, величина р 0 не влияет на значение u(t), при котором достигается максимум, а влияет только на величину максимума. В силу сказанного в принципе максимума для оптимального быстродействия можно говорить о функциях Н(х, ц/, и) и М(х, |/, и) = max Н(х, |/, и), поэтому равенство (2.29) основной теоремы будет иметь вид
а равенство (2.30) будет иметь вид
Применим принцип максимума для оптимального быстродействия к управляемым системам, которые описываются системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами. Такая задача называется задачей на линейное оптимальное быстродействие. Система записывается как
Полагаем, что управляющие воздействия подчинены ограничениям вида
Требуется минимизировать время перехода из х° в х 1 , т.е. I = t x -t 0 . Составим функцию Гамильтона:
Изменим порядок суммирования во второй группе слагаемых:
На основании принципа максимума u(t) следует искать, исходя из максимума Н(х, |/, и) относительно u (О для всех f из при учете ограничения (2.31). Нетрудно видеть (рис. 2.4), что значение, прини-
маемое u ; (t) в каждый момент t, определяется знаком?b^|/,-(t), т.е. изменение u, (t) происходит по закону,=1
Таким образом, первое свойство управления в задачах на линейное оптимальное быстродействие можно сформулировать следующим образом: управляющие воздействия представляют собой кусочнопостоянные функции, которые принимают либо максимально, либо минимально допустимое для них значения.
Изменим порядок суммирования в первой группе слагаемых выражения (2.32)
Уравнения гамильтоновой системы относительно вспомогательной функции j/(t) (2.26) будут иметь вид
Рис. 2.4.
t*, t** - точки переключения управления
Система уравнений является однородной, следовательно, общее решение можно записать в виде
где [Ху] - совокупность корней характеристического уравнения или собственные значения матрицы А = [а,-у ].
Полагаем, что Xj,j=l,2,...,n являются простыми вещественными корнями. Тогда каждая из функций v|/, (t) как сумма п монотонных функций не более (п - 1) раза пересекает ось t. Так как функция
Cy(t) = ^byyl|/y(t) является суммой п монотонных функций, то можно 1=1
сформулировать второе свойство задачи на линейное оптимальное быстродействие систем n-го порядка, корни характеристического уравнения которых вещественны: управляющие воздействия имеют не более п промежутков знакопостоянства или не более (п - 1) переключения.
Поясним результат на конкретном примере. Пусть управляемая система представляет собой двойное интегрирующее звено, т.е.
с ограничением на управляющее воздействие | u(t) |
Требуется найти u(t), переводящее фазовую точку из произвольного положения х° в начало координат фазового пространства за минимальное время.
1. Введем фазовые координаты:
Тогда в нормальной форме уравнения системы запишутся как
2. Запишем выражение для функции Гамильтона:
Гамильтонова система относительно вспомогательной вектор-функции j/(t) имеет вид
Отсюда
3. На основании свойств управления:
Уравнения семейств фазовых траекторий (рис. 2.5, а, б):
Под действием управления н = ±1 фазовая точка может попасть в начало координат только по выделенной траектории (рис. 2.6). Чтобы фазовая точка попала в начало координат не более чем за одно переключение, движение должно быть организовано, как показано на рис. 2.6.
Задача оптимального управления конечным состоянием.
Задача управления конечным состоянием при отсутствии ограничений на вектор управления - это задача Майера
классического вариационного исчисления. В этих задачах функционал определяет значение функции от координат состояния в момент времени t = t b
т.е.
Рис. 2.5.
а - u(t) = + 1; б - u(t) = -1
Рис. 2.6.
Пусть управляемая система описывается системой дифференциальных уравнений n-го порядка
с граничными условиями
Эти уравнения линейны относительно m-мерного вектора управления u(t). На управляющие воздействия накладываются ограничения вида
Требуется определить вектор управления, минимизирующий функционал
Введем новую координату
Дополнительное дифференциальное уравнение относительно x 0 (t) запишется в виде
с граничными условиями
Функция Гамильтона для данной системы
Выполним следующие преобразования:
При выполнении преобразований в силу ф; = 0 и |/ 0 (П) = -1 полагаем v|/ 0 (t) = -l. На основании принципа максимума при указанных ограничениях на управление оптимальное управление конечным состоянием для данной системы определяется выражением
Таким образом, управление является кусочно-постоянной функцией со значениями на границе области допустимых управлений. Оптимальная функция переключения
может быть вычислена после решения гамильтоновой системы уравнений при заданных граничных условиях.
Задача управления на минимум расхода энергии.
Эта задача оптимального управления имеет большое практическое значение. Расход энергии, затраченной на управление, пропорционален интегралу по времени от квадрата управляющего воздействия. Если расход энергии по всем входам брать с одинаковыми весами, то функционал можно записать в виде
где коэффициент 1/2 введен для удобства последующих выкладок.
Рассмотрим систему, описываемую системой дифференциальных уравнений п-го порядка:
Рассмотрим два случая определения оптимального управления по расходу энергии на управление:
1) когда на вектор управления не накладывается ограничений;
2) когда управляющие воздействия подчиняются ограничениям вида
Введем новую координату
Соответствующее этой координате дифференциальное уравнение
при граничных условиях
Функция Гамильтона для этой системы имеет вид
Меняем порядок суммирования в последней группе слагаемых и полагаем, как и прежде, j/ 0 =-1. Тогда
1-й случай. На вектор u(t) не накладывается ограничений.
Максимум функции Гамильтона Н{х,
|/, и
) относительно и
может быть найден на основании необходимого условия экстремума функции из классического анализа
Дифференцируем по п; :
Отсюда оптимальное управление
2-й случай. Управляющие воздействия подчиняются ограничению
Из предыдущего случая ясно, что, если | С; (?) | Uj(t) = С другой стороны, для тех t, для которых | Cj(t ) | > Mj, с учетом ограничения на Uj(t) функция Гамильтона максимальна, если Uj(t ) = MjSignCj(t). Отсюда заключаем, что оптимальное управление может быть записано в виде
Для определения Cj(t) необходимо решить гамильтонову систему уравнений.
В этом параграфе мы докажем свойство решений одномерного уравнения теплопроводности, которое называется принципом максимального значения . Оно может быть сформулировано как теорема.
Т е о р е м а. Если функция u (x ,t ), определенная и непрерывная в замкнутой области и , удовлетворяет в этой области уравнению теплопроводности
то максимальное и минимальное значения функции u (x ,t ) достигаются или в начальный момент времени или в граничных точках x = 0 или x = l.
Функция , очевидно, удовлетворяет уравнению (40) и достигает своего максимального (минимального) значения в любой точке. Однако это не противоречит теореме, так как из её условия следует, что если максимальное (минимальное) значение достигается внутри области, то оно также должно достигаться или при t= 0, или при x = 0 илипри x=l.
Физический смысл этой теоремы очевиден и заключается в следующем. Если температура на границе или в начальный момент не превосходит некоторого значения M , то при отсутствии источников тепла внутри тела не может создаться температура, больше чем М .
Остановимся на доказательстве теоремы для максимального значения. Оно ведется от противного. Итак, пусть М – максимальное значение функции u (x ,t ) при t = 0 (0 ≤ x ≤ l ) или при x = 0 илипри x = l (0 ≤ t ≤ T ). Допустим теперь, что в некоторой точке области (x 0 , t 0), такой, что 0 < x 0 < l и0 < t 0 ≤ T , функция u (x ,t ) достигает своего максимального значения, превосходящего М на величину ε, т.е.
Тогда в точке (x 0 , t 0) должны выполняться соотношения
причем при всех значениях будет выполняться знак равенства.
где k – постоянный коэффициент. Очевидно, что
Выберем так, чтобы kT было меньше ε/2, т.е. , тогда максимальное значение v (x , t ) при t = 0 (0 ≤ x ≤ l ) или при x = 0 илипри x = l не будет превосходить , т.е.
(при t =
0 или x =
0 или x = l
), (44)
так как для этих аргументов первое слагаемое в формуле (43) не превосходит М , а второе .
В силу непрерывности функции v (x , t ), она должна в некоторой точке (x 1 ,t 1) достигать своего максимального значения, причем
Момент времени t 1 строго больше нуля и , так как при или , или имеет место неравенство (44). В точке (x 1 , t 1), по аналогии с (41) и (42), должно быть
Имея в виду определение функции v (x , t ) (43), получим
Отсюда следует, что
т.е. уравнение (40) во внутренней точке (x 1 ,t 1) не удовлетворяется. Тем самым доказано, что решение u (x ,t ) уравнения теплопроводности (40) внутри области не может принимать значений, превосходящих наибольшее значение u (x ,t ) на границе.
Аналогично может быть доказана и вторая часть теоремы для минимального значения.
Приведем и докажем следствия из принципа максимального значения:
Следствие 1. Если два решения уравнения (40) и удовлетворяют условиям:
,
Доказательство. В силу линейности (40) функция является его решением, следовательно, удовлетворяет принципу максимального значения. При этом:
Следовательно:
в противном случае имела бы отрицательное минимальное значение. Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Если три решения уравнения (40) , и удовлетворяют условию:
при , и , то это же неравенство выполняются и для всех 
.
Доказательство. Проводится просто применением следствия 1 к парам функций и , и .
Рассмотрим в решение уравнения (1), соответствующее начальному и граничным условиям вида:
Пусть есть решение уравнения (40), соответствующее возмущенным начальному и граничным условиям, задаваемыми функциями , и , такими, что:
Используем следствие 3, можем заключить, что: , что и подразумевает сколь угодную близость решений исходной и возмущенной задач.
