Вторая космическая скорость формула. Школьная энциклопедия

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.

Втора́я косми́ческая ско́рость (параболи́ческая ско́рость, ско́рость освобожде́ния, ско́рость убега́ния) - наименьшая скорость , которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания замкнутой орбиты вокруг него. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно более не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с .

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по параболе относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой. Если чуть меньше, то она превращается в эллипс . В общем случае все они являются коническими сечениями .

Если тело запущено вертикально вверх со второй космической и более высокой скоростью, оно никогда не остановится и не начнёт падать обратно.

Эту же скорость приобретает у поверхности небесного тела любое космическое тело, которое на бесконечно большом расстоянии покоилось, а затем стало падать.

Вторая космическая скорость впервые была достигнута коcмическим аппаратом СССР 2 января 1959 года (Луна-1).

Вычисление

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу - спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты , если будет падать на неё из бесконечности . Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.

m v 2 2 2 − G m M R = 0 , {\displaystyle {\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-G{\frac {mM}{R}}=0,} R = h + r {\displaystyle R=h+r}

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния - энергия равна нулю). Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, r - радиус планеты, h - длина от основания тела до его центра масс (высота над поверхностью планеты), G - гравитационная постоянная , v 2 - вторая космическая скорость.

Решая это уравнение относительно v 2 , получим

v 2 = 2 G M R . {\displaystyle v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}.}

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

v 2 = 2 v 1 . {\displaystyle v_{2}={\sqrt {2}}v_{1}.}

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке (например, на поверхности небесного тела):

v 2 2 = − 2 Φ = 2 G M R . {\displaystyle v_{2}^{2}=-2\Phi =2{\frac {GM}{R}}.}

Минимальную скорость, которую нужно сообщить физическому телу (например, космическому аппарату), чтобы оно могло преодолеть гравитационное притяжение небесного объекта (например, планеты или звезды) и навсегда покинуть сферу его гравитационного действия, называют параболической скоростью (тело, имеющее такую скорость, движется по параболической траектории). Параболическая скорость уменьшается с увеличением расстояния от небесного объекта. Параболическую скорость у поверхности небесного объекта называют второй космической скоростью. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,18 километра в секунду. Параболическая скорость на высоте 300 километров над поверхностью Земли (уровнем моря) равна 10,93 километра в секунду, на высоте 1000 километров – 6,98 километра в секунду. Для Солнца вторая космическая скорость равна 617,7 километра в секунду, а параболическая скорость на расстоянии 1 астрономической единицы от нашего светила (средний радиус земной орбиты) – 42,1 километра в секунду. Для самой большой планеты Солнечной системы (Юпитера) вторая космическая скорость равна 59,5 километра в секунду, для самой маленькой (Меркурия) – 4,2 километра в секунду.

Чему равна третья космическая скорость?

Третьей космической называют минимальную скорость, которую нужно сообщить телу (например, космическому аппарату) вблизи поверхности Земли, чтобы оно могло, преодолев гравитационное притяжение Земли и Солнца, навсегда покинуть Солнечную систему. Третья космическая скорость равна приблизительно 16,6 километра в секунду (при запуске на высоте 200 километров над земной поверхностью), при этом направление скорости тела относительно Земли должно совпадать с направлением скорости орбитального движения Земли.

Что изучает классическая механика?

Классическая механика изучает движение макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. В основе классической механики лежат законы Ньютона. Движение микрочастиц (способ описания и законы движения) в заданных внешних полях изучает квантовая механика, а законы механического движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света, изучает релятивистская механика, основанная на специальной теории относительности.

Что удерживает Луну на околоземной орбите?

Упасть на Землю нашему естественному спутнику не позволяет его орбитальная скорость, превышающая первую космическую. А вырваться из гравитационных объятий Земли и навсегда покинуть ее окрестности мешает земное притяжение, для преодоления которого орбитальная скорость Луны недостаточно велика (меньше второй космической ).

Вторая “земная” космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу относительно Земли, чтобы оно преодолело поле земного тяготения, т.е. оказалось способным удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние.

Пренебрегая действием на тело Солнца, Луны, планет, звёзд и т.д. и полагая, что в системе Земля - тело отсутствуют неконсервативные силы (а таковые в действительности имеются - это силы сопротивления атмосферы), мы можем считать эту систему замкнутой и консервативной. В такой системе полная механическая энергия есть величина постоянная.

Если нулевой уровень потенциальной энергии выбрать в бесконечности, то полная механическая энергия тела в любой точке траектории будет равна нулю (по мере удаления тела от Земли кинетическая энергия, сообщенная ему на старте, будет превращаться в потенциальную. В бесконечности, где потенциальная энергия тела равна нулю,

обратится в нуль и кинетическая энергия E к =0. Следовательно, полная энергия E = E п + E к . = 0.)

Приравняв полную энергию тела на старте (на поверхности Земли) и в бесконечности, мы можем вычислить вторую космическую скорость. На старте тело обладает положительной кинетической энергией
иотрицательной потенциальной энергией
,m - масса тела; M з - масса Земли; II - скорость тела на старте (искомая космическая скорость);R з - радиус Земли (предполагаем, что необходимую космическую скорость тело приобретает в непосредственной близости от поверхности Земли).

Полная энергия тела
(12.16)

откуда
(12.17)

Массу Земли можно выразить через ускорение свободного падения g 0 (вблизи поверхности Земли):
.

Подставив это выражение в (12.17), получим окончательно

(12.18)

так как
есть первая космическая скорость.

V. Условия равновесия механической системы.

Пусть на некоторое тело действуют только консервативная сила. Это значит, что данное тело вместе с телами, с которыми оно взаимодействует, образует замкнутую консервативную систему . Выясним,

при каких условиях рассматриваемое тело будет находиться в состоянии равновесия (сформулируем эти условия с энергетической точки зрения).

Условия равновесия с точки зрения динамики нам известны: тело находится в равновесии, если его скорость и геометрическая сумма всех действующих на него сил равны нулю:

(12.19)

(12.20)

Пусть консервативная сила, действующая на тело, такова, что потенциальная энергия тела зависит только от одной координаты, например, x . График этой зависимости приведён на рисунке 23. Из связи потенциальной энергии с силой следует, что в состоянии равновесия

производная от потенциальной энергии по x равна нулю.

(12.21)

т.е. в состоянии равновесия тело обладает экстремальным запасом потенциальной энергии. Убедимся в том, что потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия минимальная , а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальная .

3. Устойчивое равновесие системы характеризуется тем, что при отклонении системы из этого состояния возникают силы, возвращающие систему в первоначальное состояние.

При отклонении из состояния неустойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся отклонить систему ещёдальше от первоначального положения. Отклоним тело из положения A влево (см. рис.23). При этом появится сила , проекция которой на осьx равна:

(12.22)

Производная
в точке отрицательна (угол
- тупой). Из (12.22) следует, >0; направление силы совпадает с направлением оси x , т.е. сила направления к положению равновесия A . Тело самопроизвольно, без дополнительного воздействия вернётся в положение равновесия. Следовательно, состояние A – состояние устойчивого равновесия. Но в этом состоянии, как видно из графика, потенциальная энергия минимальна.

4. Отклоним тело из положения B также влево. Проекция силы
на осьx :

получается отрицательной (
>0, так как угол
острый).

Это значит, что направление силы
противоположно положительному направлению оси x , т.е. сила
направленаот положения равновесия. Состояние B , в котором потенциальная энергия максимальна, неустойчиво.

Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна , в состоянии неустойчивого равновесия – максимальна.

Если известно, что потенциальная энергия некоторой системы минимальна, то это ещё не значит, что система находится в равновесии. Необходимо ещё, чтобы в этом состоянии система не обладала кинетической энергией:
(12.23)

Итак, система находится в состоянии устойчивого равновесия, если E к =0, а E п минимальна. Если E к =0, а E п максимальна, то система находится в неустойчивом равновесии.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения
Момент инерции тела человека относительно оси вращения
В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой
каждая. Расстояние между гирями

Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным
Моментом инерции скамейки пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (см. рис.24), составляет вместе со скамейкой изолированную механическую систему, поэтому момент импульса
этой системы должен иметь постоянное значение.

Следовательно, для нашего случая

где и- момент инерции человека и угловая скорость скамейки и человека с вытянутыми руками.и
- момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с опущенными руками. Отсюда
, заменив угловую скорость через частоту(
), получим

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека и момента инерции гирь в руках человека, который можно определить по формуле момента инерции материальной точки

Следовательно,

где
масса каждой из гирь,и
первоначальное и конечное расстояние между ними. С учетом сделанных замечаний имеем

Подставляя численные значения величин, найдем

Пример 2. Стержень длиной
и массой
может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис.25). В середину стержня ударяет пуля массой
, летящая в горизонтальном направлении со скоростью
, и застревает в стержне.

На какой уголотклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с некоторой угловой скоростью и сообщает ему некоторую кинетческую энергию
где
момент инерции стержня относительно оси вращения. Затем стержень поворачивается на некоторый угол, причем его центр тяжести поднимается на некоторую высоту
.

В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии, т.е.

, откуда

Для определения угловой скорости воспользуемся законом сохранения момента импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня
и поэтому момент импульса стержня
Пуля коснулась стержня, имея линейную скорость, и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси.

Начальный импульс пули
где
расстояние точки попадания пули от оси вращения.

В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля – линейную скоростьравную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянииот оси вращения.