Критерий устойчивости Найквиста сформулирован и обоснован в 1932 году американским физиком Х. Найквистом. Критерий устойчивости Найквиста наиболее широко используется в инженерной практике по следующим причинам:
- устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой части W p (jw), а эта функция, чаще всего, состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости;
- для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объекта управления, исполнительных органов), что повышает точность полученных результатов;
- устойчивость системы можно исследовать по логарифмическим частотным характеристикам, построение которых не сложно;
- достаточно просто определяются запасы устойчивости системы;
- удобно использовать для оценки устойчивости САР с запаздыванием.
Критерий устойчивости Найквиста дает возможность оценивать устойчивость САР по АФЧХ ее разомкнутой части. При этом различают три случая применения критерия Найквиста.
1.Разомкнутая часть САР устойчива. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой части системы (годограф Найквиста) при изменении частоты w от 0 до +¥ не охватывала точку с координатами [-1, j 0]. На рис. 4.6 приведены основные возможные ситуации:
1. - замкнутая система абсолютно устойчива;
2. - САР условно устойчива, т.е. устойчива только в некотором диапазоне изменения коэффициента передачи k ;
3. - САР находится на границе устойчивости;
4. - САР неустойчива.
Рис. 4.6. Годографы Найквиста, когда разомкнутая часть САР устойчива
2. Разомкнутая часть САР находится на границе устойчивости. В этом случае, характеристическое уравнение имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней вещественные части отрицательны.
Для устойчивости замкнутой системы , если разомкнутая часть системы находится на границе устойчивости необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой части системы при изменении w от 0 до +¥, дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса не охватывала точку с координатами [-1, j 0]. При наличии ν нулевых корней АФЧХ разомкнутой части системы при w =0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол градусов по часовой стрелке, как показано на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Годографы Найквиста при наличии нулевых корней
Если имеется пара чисто мнимых корней w i = , то АФЧХ при частоте w i дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол 180° по часовой стрелке, что отражено на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Годограф Найквиста при наличии пары чисто мнимых корней
3. Разомкнутая часть системы неустойчива , т.е. характеристическое уравнение имеет l корней с положительной вещественной частью. В этом случае, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты w от 0 до +¥ АФЧХ разомкнутой части САР охватывала точку
[-1, j 0) l /2 раз в положительном направлении (против часовой стрелки).
При сложной форме годографа Найквиста удобнее применять другую формулировку критерия Найквиста, предложенную Я.З. Цыпкиным, используя правила переходов. Переход АФЧХ разомкнутой части системы при увеличении w отрезок вещественной оси от -1 до -¥ сверху вниз считается положительным (рис. 4.9), а снизу вверх отрицательным. Если АФЧХ начинается на данном отрезке при w =0 или заканчивается при w =¥ , то считается, что АФЧХ совершает пол перехода.
Рис. 4.9. Переходы годографа Найквиста через отрезок P(w ) от -¥ до -1
Замкнутая система устойчива , если разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа Найквиста через отрезок вещественной оси от -1 до -¥ равно l/2, где l – число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью.
Построение годографов Найквиста по передаточной функции разомкнутой системы заданной в виде полинома
Частотный критерий Найквиста при исследовании устойчивости автоматических систем базируется на амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы и может быть сформулирован следующим образом:
если характеристическое уравнение разомкнутой системы n -го порядка имеет k корней с положительной вещественной частью (k = 0, 1, ….. n) и n-k корней с отрицательной вещественной частью, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы (годограф Найквиста) охватывал точку (-1, j0) комплексной плоскости на угол k р, или что тоже самое, охватывал точку (-1, j0) в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, k раз.
Для частного случая, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы не имеет корней с положительной вещественной частью (k = 0), т.е. , когда она устойчива в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста формулируется следующим образом:
система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до? не охватывает точку комплексной плоскости с координатами (-1, j0).
Критерий устойчивости Найквиста удобно применять для систем с обратной связью, особенно систем высокого порядка.
Для построения годографа Найквиста воспользуемся передаточной функцией разомкнутой системы в символьном виде из Практического занятия №5
Запишем ее в символьно-цифровом виде для заданных параметров всех элементов системы, кроме коэффициента передачи магнитного усилителя:
Запишем уравнение амплитудно-фазовой частотной характеристики, выделим вещественную и мнимые частотные характеристики и построим семейство годографов Найквиста в функции частоты и коэффициента передачи магнитного усилителя.
Построения графика амплитудно-фазовой частотной характеристики в MathСad
Рис.3. Семейство кривых годографа Найквиста, построенный для передаточной функции разомкнутой системы в функции от k му .
Из рис.3 видно, что один из годографов Найквиста проходит через точку с координатами (j0, -1) . Следовательно, в заданной области изменения коэффициента передачи магнитного усилителя есть и его критическое значение. Для его определения воспользуемся следующими соотношениями:
Следовательно, критический коэффициент передачи магнитного усилителя есть:
k мукр =11.186981170416560078
Убедимся, что это действительно так. Для этого построим кривые годографа Найквиста для трех значений коэффициента передачи магнитного усилителя: k му = 0.6 k мукр ; k му = k мукр ; k му =1.2 k мукр
Рис.4.
k му = 0.6 k мукр; k му = k мукр; k му =1.2 k мукр
Кривые рис.4 подтверждают, что критический коэффициент передачи магнитного усилителя найден верно.
Использование л.а.ч.х. и фазовых частотных характеристик для анализа устойчивости системы
Критерий устойчивости системы по логарифмической амплитудной частотной характеристике (л.а.ч..х) и фазовой частотной характеристике можно сформулировать следующим образом:
Система автоматического регулирования, неустойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных переходов (переход фазовой частотной характеристики снизу вверх через линию ц(щ) = -180 ° ) и числами отрицательных переходов (переход фазовой частотной характеристики сверху в низ через линию ц(щ) = -180 ° ) фазовой частотной характеристики ц(щ) через линию ц(щ) = -180 ° равно нулю в диапазоне частот, на которых л.а.ч..х (L(щ)> 0) .
Для построения фазовой частотной характеристики, желательно представить передаточную функцию в виде типовых динамических звеньев.
и строить фазовую характеристику, используя выражение:
«+» - соответствует типовым динамическим звеньям числителя передаточной функции;
«-« - соответствует типовым динамическим звеньям знаменателя передаточной функции.
Для построения асимптотической л.а.ч.х. используем передаточную функцию разомкнутой системы, представленной в виде типовых динамических звеньев:
Для этого используем передаточную функцию вида:
Представим эту передаточную функцию в виде типовых динамических звеньев:
Параметры типовых динамических звеньев определяются, как показано ниже:
Уравнение фазовой характеристики будет иметь вид:
Определим частоту, при которой фазовая частотная характеристика пересекает ось ц(щ) = -180 °
Для построения л.а.ч.х. воспользуемся выражением:
На рис.5 представлены графики л.а.ч.х для двух значений коэффициента передачи магнитного усилителя k му = 10 и k му = 80 .
Рис.5.
Анализ л.а.ч.х. и фазовой частотной характеристики показывают, что при увеличении коэффициента передачи магнитного усилителя от 8 до 80 система из устойчивой становится неустойчивой. Определим критический коэффициент передачи магнитного усилителя.
Если нет дополнительных требований по запасам устойчивости к системе, то рекомендуется принимать их равными:
ДL(щ) = -12db Дц(щ) = 35°ч 45
Определим, при каком коэффициенте передачи магнитного усилителя это условие выполняется.
Это же подтверждается графиками, приведёнными на рисунке 6.
Условие задания.
Пользуясь критерием устойчивости Михайлова, Найквиста определить устойчивость одноконтурной системы управления, имеющую в разомкнутом состоянии передаточную функцию вида
в формулу проставить значения К, а, b и с по варианту.
W(s)
=
,
(1)
Построить годографы Михайлова и Найквиста. Определить частоту среза системы.
Определить критическое значение коэффициента усиления системы.
Решение.
Задачи анализа и синтеза систем управления решаются с помощью такого мощного математического аппарата, каким является операционное исчисление (преобразование) Лапласа. Задачи анализа и синтеза систем управления решаются с помощью такого мощного математического аппарата, каким является операционное исчисление (преобразование) Лапласа. Общее решение операторного уравнения представляет собой сумму слагаемых, определяемых значениями корней характеристического полинома (многочлена):
D (s) = d s n d n ) .
Построение годографа Михайлова.
А) Выписываем характеристический многочлен для замкнутой системы, описываемой уравнением (1)
D (s) = 50 + (25s+1)(0,1s+1)(0,01s+1) = 50+(625+50s+1)(0,001+0,11s+1) =0,625+68,85+630,501+50,11s+51.
Корни многочлена D (s) могут быть: нулевыми; вещественными (отрицательными, положительными); мнимыми (всегда парными, сопряженными) и комплексными сопряженными.
Б) Преобразуем к виду s→ ωj
D ()=0,625+68,85+630,501+50,11+51=0,625ω-68,85jω- 630,501ω+50,11jω+51
ω – частота сигнала, j = (1) 1/2 – мнимая единица. J 4 =(-1) 4/2 =1, J 3 =(-1) 3/2 =-(1) 1/2 = - j, J 2 =(-1) 2/2 =-1, J =(-1) 1/2 = j,
В) Выделим действительную и мнимую часть.
D = U()+jV(), где U() – действительная часть, а V() – мнимая часть.
U(ω) =0,625ω-630,501ω+51
V(ω) =ω(50,11-68,85ω)
Г) Построим годограф Михайлова.
Построим годограф Михайлова вблизи и сдали от нуля, для этого построем D(jw) при изменении w от 0 до +∞. Найдем точки пересечения U (w) и V (w) с осями. Решим задачу с использованием MicrosoftExcel.
Задаем значения w в диапазоне от 0 до 0,0001 до 0,1, рассчитаем в табл. Excel значения U (ω) и V (ω), D(ω); находим точки пересечения U (w) и V (w) с осями,
Задаем значения w в диапазоне от 0,1 до 20, рассчитаем в табл. Excel значения U (w) и V (w), D; находим точки пересечения U (w) и V (w) с осями.
Таблица 2.1 – Определение действительной и мнимой частей и самого многочлена D ()с использованием MicrosoftExcel
Рис. А, Б, ….. Зависимости U (ω) и V (ω), D(ω) от ω
По рис. А, Б, …..находим точки пересечения U (w) и V (w) с осями:
при ω = 0 U (ω)= …. и V (ω)= ……
Рис.1. Годограф Михайлова при ω = 0:000,1:0,1.
Рис.2. Годограф Михайлова при ω = 0,1:20
Д) Выводы об устойчивости системы по годографу.
Устойчивость (как понятие) любой динамической системы определяется ее поведением после снятия внешнего воздействия, т.е. ее свободным движением под влиянием начальных условий. Система является устойчивой, если она возвращается в исходное состояние равновесия после прекращения действия на систему сигнала (возмущения), выведшего ее из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно со временем удаляется от него. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать свободную составляющую решения уравнения динамики, т.е решения уравнения:.
D (s) = d s n d n )= 0.
Проверить устойчивость системы с помощью критерия Михайлова:
Критерий Михайлова: Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.1 и рис.2), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ∞ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
Из решения видно (см. рис.1 и рис.2), что годограф удовлетворяет следующим условиям критерия: Начинается на положительной вещественной полуоси при w = 0. Годограф не удовлетворяет следующим условиям критерия: не обходит в положительном направлении все 4 квадранта (степень полинома n=4) при ω.
Делаем вывод, что данная разомкнутая система не устойчива.
Построение годографа Найквиста.
А) Произведем замену в формуле (1) s→ ωj
W(s)
=
=
,
Б) Раскроем скобки и выделим действительную и мнимую часть в знаменателе
В) Умножим на сопряженное и выделим действительную и мнимую часть
,
где U() – действительная часть, а V() – мнимая часть.
Г) Построим годограф Найквиста: - зависимость W() от .
Рис.3. Годограф Найквиста.
Д) Проверим устойчивость системы с помощью критерия Найквиста:
Критерий Найквиста: Для того чтобы система, которая в разомкнутом состоянии была устойчива, была устойчива и в замкнутом, необходимо, чтобы годограф Найквиста при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывал точку с координатами (-1; j0).
Из решения видно (см. рис.3), что годограф удовлетворяет всем условиям критерия:
Годограф меняет свое направление по часовой стрелке
Годографом не охватывается точка (-1; j0)
Делаем вывод, что данная разомкнутая система устойчива.
Определение критического значения коэффициента усиления системы.
А) В пункте 2 уже были выделены действительная и мнимая части
Б) Для того, чтобы найти критическое значение коэффициента усиления системы необходимо приравнять мнимую часть к нулю, а действительную к -1
В) Найдем из второго (2) уравнения
Числитель должен быть равен 0.
Принимаем, что , тогда
В) Подставляем в первое (1) уравнение и находим
Критическое значение коэффициента усиления системы.
Литература:
1.Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 1.
Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления. М: Изд. МГТУ им Баумана. 2000 г.
2. Воронов А.А. Теория автоматического управления. Т. 1-3, М., Наука, 1992
Левый годограф – годограф заведомо устойчивой системы, не охватывает точки , что и требуется согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы. Правый годограф – годограф трёхполюсной , заведомо неустойчивой системы обходит точку три раза против часовой стрелки, что и требуется согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы.
Замечание.
Амплитудно-фазовые характеристики систем с действительными параметрами – а только такие и встречаются на практике, симметричны относительно действительной оси. Поэтому обычно рассматривается только половина амплитудно-фазовой характеристики, соответствующая положительным частотам. При этом считаются полуобходы точки . Пересечение отрезка () при увеличении частоты сверху вниз (фаза растёт) считается за пересечение, а снизу вверх – за пересечение. Если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы начинается на отрезке (), то этому будет соответствовать или пересечение в зависимости от того, вниз или вверх идёт характеристика при возрастании частоты.
Подсчёт числа пересечений отрезка () можно произвести по логарифмическим частотным характеристикам. Уточним, это те пересечения, которым соответствует фаза при модуле амплитудной характеристики больше единицы.
Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.
Чтобы воспользоваться критерием Михайлова, надо построить годограф . Здесь – характеристический полином замкнутой системы.
В случае критерия Найквиста достаточно знать передаточную функцию разомкнутой системы. При этом нет необходимости строить годограф. Для определения устойчивости по Найквисту, достаточно построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой системы.
Наиболее простое построение получается тогда, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде
, тогда ЛАХ 
,
Рисунок ниже соответствует передаточной функции
.
Здесь и 
построены как функции .
Изображённые ниже логарифмические частотные характеристики соответствуют уже упоминавшейся выше системе с передаточной функцией (разомкнутой системы)
.
Слева изображены амплитудная и фазовая частотные характеристики для передаточной функции , справа – для передаточной функции , в центре – для исходной передаточной функции (как это насчитала нам программа Les, метод “Integration”).
Три полюса функции сдвинуты влево (устойчивая система). Фазовая характеристика, соответственно, имеет 0 пересечений уровня . Три полюса функции сдвинуты вправо (неустойчивая система). Фазовая характеристика, соответственно, имеет три полупересечения уровня в областях, где модуль функции передачи больше единицы.
В любом случае замкнутая система устойчива.
Центральная картинка – расчёт в отсутствие подвижек корней, является предельной для правой картинки, ход фазы на левой картинке радикально отличен. Где истина?
Примеры из .
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
.
Разомкнутая система устойчива при любых положительных k и Т . Устойчива и замкнутая система, как это видно из годографа слева на рисунке.
При
отрицательном Т
разомкнутая система неустойчива – имеет плюс в правой
полуплоскости. Замкнутая система устойчива при , как
это видно по годографу в центре, и неустойчива при 
(годограф
справа).
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид ():
.
Она имеет один полюс на мнимой оси. Следовательно, для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка () действительной оси было равно (если рассматривать годограф только для положительных частот).
