Буквы в десятичной системе счисления. Перевод чисел в различные системы счисления с решением

В цифровых устройствах приходится иметь дело с различными видами информации. Это в чистом виде двоичная информация, такая как включен прибор или выключен, исправно устройство или нет. Информация может быть представлена в виде текстов, и тогда приходится буквы алфавита кодировать при помощи двоичных уровней сигнала. Достаточно часто информация может представлять собой числа. Числа могут быть представлены в различных системах счисления. Форма записи в них чисел существенно различается между собой, поэтому, прежде чем перейти к особенностям представления чисел в цифровой технике, рассмотрим их запись в различных системах счисления.

Системы счисления

Начнем с определения системы счисления. Система счисления - это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления. Рассмотрим сначала примеры непозиционных систем счисления.

В качестве классического примера непозиционной системы счисления обычно приводят римскую форму записи чисел. Там не менее это не единственная непозиционная система счисления, используемая в настоящее время.

Сейчас, как и в глубокой древности, для записи числа используются так называемые “палочки”. Эта форма записи чисел наиболее понятна и требует для записи числа всего один символ. Число образуется суммой этих “палочек”. Однако при записи больших чисел возникают неудобства. Число получается громоздким и его трудно читать.

В следующем варианте непозиционной системы счисления стали использовать несколько символов (цифр). Каждая цифра обозначает различное количеств единиц. Конечное число точно так же как и в предыдущем варианте образуется суммой цифр. Наиболее яркий вариант использования такой системы счисления - это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе! Номинал монеты или банкноты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

Однако чем большее число требуется представить в такой системе счисления, тем большее количество цифр требуется для этого. Позиционные системы счисления были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр, используемое для записи чисел.

Значение цифры в позиционной системе счисления зависит от её позиции в записываемом числе. В позиционной системе счисления появляются два очень важных понятия - основание системы счисления и вес цифры. Дело в том, что в позиционной системе счисления число представляется в виде формулы разложения:

A p =a n p n +a n-1 p n-1 +...+a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +...+a -k p -k

где p - основание системы счисления
p i - вес единицы данного разряда
a i - цифры, разрешённые в данной системе счисления.

При этом количество цифр в системе счисления зависит от основания. Количество цифр равно основанию системы счисления. В двоичной системе счисления две цифры, в десятичной – десять, а в шестнадцатеричной – шестнадцать. Число в любой позиционной системе счисления записываются в виде последовательности цифр:

A=a n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 ,a -1 a -2 ...a -k ,

где ai – цифры данной системы счисления, а цифра, соответствующая единицам определяется по положению десятичной запятой (или десятичной точки в англоязычных странах). Каждая цифра, использованная в записи числа, называется разрядом.

Какие же системы счисления применяются в настоящее время? Первый ответ, который я ожидаю – это десятичная система счисления. А ещё? Да, да не удивляйтесь! Мы широко используем и другие системы счисления! Достаточно посмотреть себе на левую руку. Там мы увидим часы. Сколько минут помещается в часе? Шестьдесят! Сколько секунд помещается в минуте? Шестьдесят! Налицо признаки шестидесятеричной системы счисления. Это наследование древней вавилонской системы счисления, которую вместе с компасом и часами европейцы заимствовали от арабов.

А еще примеры? Да сколько угодно! Картушка компаса делится на восемь румбов. Чем не восьмеричная система счисления? А давно ли в России отказались от полушек (четверть копейки) или грошей (половина копейки)? А следующее значение монеты – две копейки! Чем не двоичная система счисления?

Рассмотрим подробнее системы счисления, наиболее часто используемые в цифровой технике.

Десятичная система счисления

Основание этой системы счисления p равно десяти. В этой системе счисления используется десять цифр. В настоящее время для обозначения этих цифр используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятичной системе счисления записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в десять раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как десятые, сотые или тысячные доли единицы.

Рассмотрим пример . Для того чтобы показать, что в примере используется именно десятичная система счисления, используем индекс 10. Если же кроме десятичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то индекс обычно не используется:

A 10 =247,56 10 =2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0,5 10 +0,06 10

Здесь самый старший разряд числа будет называться сотнями. В приведённом примере сотням соответствует цифра 2. Следующий разряд будет называться десятками. В приведённом примере десяткам соответствует цифра 4. Следующий разряд будет называться единицами. В приведённом примере единицам соответствует цифра 7. Десятым долям соответствует цифра 5, а сотым – 6.

Двоичная система счисления

Основание этой системы счисления p равно двум. В этой системе счисления используется две цифры. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в двоичной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0 и 1. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 2. Если же кроме двоичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.

Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, двоек, четвёрок, восьмёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в два раза. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как половины, четверти или восьмые доли единицы.

Рассмотрим пример записи двоичного числа:

A 2 =101110,101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 =46,625 10

При записи во второй строке примера десятичных эквивалентов двоичных разрядов мы не стали записывать степени двойки, которые умножаются на ноль, так как это привело бы только к загромождению формулы и, как следствие, затруднение понимания материала.

Недостатком двоичной системы счисления можно считать большое количество разрядов, требующихся для записи чисел. В качестве преимущества этой системы счисления можно назвать простоту выполнения арифметических действий, которые будут рассмотрены позднее.

Восьмеричная система счисления

Основание этой системы счисления p равно восьми. Восьмеричную систему счисления можно рассматривать как более короткий вариант записи двоичных чисел, так как число восемь является степенью числа два. В этой системе счисления используется восемь цифр. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в восьмеричной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 8. Если же кроме восьмеричной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.

Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, восьмёрок, шестьдесят четвёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в восемь раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как восьмые, шестьдесят четвёртые и так далее доли единицы.

Рассмотрим пример записи восьмеричного числа:

A 8 =125,46 8 =1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 +6 10 /64 10 = 85,59375 10

Во второй строке приведённого примера фактически осуществлён перевод числа, записанного в восьмеричной форме в десятичное представление того же самого числа. То есть мы фактически рассмотрели один из способов преобразования чисел из одной формы представления в другую.

Так как в формуле используются простые дроби, то возможен вариант, что точный перевод из одной формы представления в другую становится невозможным. В этом случае ограничиваются заданным количеством дробных разрядов.

Шестнадцатеричная система счисления

Основание этой системы счисления p равно шестнадцати. Эту систему счисления можно считать ещё одним вариантом записи двоичного числа. В этой системе счисления используется шестнадцать цифр. Здесь уже не хватает десяти цифр, поэтому приходится придумать недостающие шесть цифр.

Для обозначения этих цифр можно воспользоваться первыми буквами латинского алфавита. При записи шестнадцатеричного числа неважно буквы верхнего или нижнего регистра будут использоваться в качестве цифр. В качестве цифр в шестнадцатеричной системе используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Так как здесь появляются новые цифры, то приведём таблицу соответствия этих цифр десятичным значениям.

Таблица 6. Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр десятичным значениям

Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, чисел шестнадцать, двести пятьдесят шесть и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в шестнадцать раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как шестнадцатые, двести пятьдесят шестые и так далее доли единицы.

Рассмотрим пример записи шестнадцатеричного числа:

A 16 =2AF,C4 16 =2*16 2 +10*16 1 +15*16 0 +12*16 -1 +4*16 -2 = 512 10 +160 10 +15 10 +12 10 /16 10 +4 10 /254 10 = 687,765625 10

Из приведённых примеров записи чисел в различных системах счисления вполне очевидно, что для записи одного и того же числа с одинаковой точностью в разных системах счисления требуется различное количество разрядов. Чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов требуется для записи одного и того же числа.

Литература:

Вместе со статьей "Системы счисления" читают:

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10-1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 - число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число х может быть представлено в системе с основанием р, как х = а п х р п + а п _! х р п_1 + а! х р 1 + а 0 х р°, где а п...а 0 - цифры в представлении данного числа. Так, например,

• 1035 10 = 1 х Ю 3 +0 х Ю 2 +3 х Ю 1 + 5 х 10°;
• 1010 2 = 1 X 2 3 + 0 X 2 2 + 1 X 2 1 + О X 2° = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Двоичная система счисления. Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

• ? для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - ненамагничен);
• ? представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• ? возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• ? двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина «бит», ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки.

Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Таблица 1.3

Варианты сложения

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101, и если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на ЭВМ (в том числе и КСа1с), позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2,8, 16 и, конечно, 10.

Основные понятия

Система счисления - это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

• непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции - положения в записи числа);
• позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

p i = s i ,

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем - запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

p i = s i ,
где i - номер разряда, а s - основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a i , любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;
2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления - 10).

Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 - это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Деление его на 4 даст остаток - следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

1. Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
2. Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 - степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=24 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3)

Арифметика

Арифметические операции в позиционной системе с любым основанием производятся по одним и тем же правилам: сложение, вычитарние и умножение «в столбик», а деление - «уголком». Рассмотрим пример выполнения действий сложения и вычитания в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Сложение

Двоичная система:

В нулевом разряде: 1 + 0 = 0

В первом разряде: 1 + 1 = 2. 2 переносится в старший (2-й) разряд, обращаясь в единицу переноса. В первом разряде остается 2 - 2 = 0.

Во втором разряде: 0 + 1 + 1 (перенос) = 2; Переносим в старший разряд,

Продолжая вычисления, получим:

10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2

Восьмеричная система:

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но в старший разряд переносим 8. Получаем:

34261 8 + 4435 8 = 40716 8

Шестнадцатеричная система:

A391 16 + 8534 16 = 128C5 16

Вычитание

Двоичная система:

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной) , так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления . Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления . Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIХ = –10+100–1+10.

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления . Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 – последние 9 букв.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

• Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой - числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее - десятки, ещё левее - сотни и т.д.

Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная . В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример - палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 - IX.
3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
4. в которой использовалось всего два обозначения для записи - клинья и стрелочки.
5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

• двоичная;
• восьмеричная;
• десятичная;
• шестнадцатеричная;
• шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике - двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры - 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль - его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека - процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв - A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 - 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело - получаем в остатке 4 - 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая - m-2 и так далее, где m - количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно - достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике - система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую - залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.